Man unterscheidet Rechts- und Linkssysteme. Ob ein Koordinatensystem ein Rechts- oder Linkssystem ist, hängt von der relativen Position der Einheitsvektoren zueinander ab.
Man kann sich die Stellung der Einheitsvektoren zueinander auch gut mit Hilfe der Hände verdeutlichen.
Dazu nehme man Daumen und Zeigefinger und spanne damit eine Ebene auf. Den Mittelfinger versucht man nun senkrecht dazu zu stellen. Dabei entspricht der Daumen der X1 Richtung, der Zeigefinger der X2 Richtung und der Mittelfinger der X3 Richtung. Hält man nun die rechte Hand auf diese Weise vor sich, so ist ein Rechtssystem entstanden. Macht man das gleiche mit der linken Hand, dann hat man ein Linkssystem visualisiert.

Rechtssytem	Linkssystem

Die beiden Systeme unterscheiden sich unter anderem auch in ihrem Verhalten in Bezug auf Drehungen. So dreht sich ein Rechtssystem gegen den Uhrzeigersinn, wenn man einen positiven Drehwinkel betrachtet. Ein Linkssystem würde bei gleicher Situation Bewegungen im Uhrzeigersinn ausführen. Entsprechend entgegengesetzt drehen sich die Systeme, wenn ein negativer Wert als Rotationswinkel angenommen wird.
Ob der Drehwinkel positiv oder negativ ist, läßt sich auch an der Bewegung der Achsen zueinander erkennen. So wird um einen positiven Winkel gedreht, wenn sich die X1-Achse auf die X2-Achse zu bewegt.

In dem Applet wurden die sogenannten elementaren Rotationsmatrizen

       

verwendet. Es handelt sich dabei um die Rotationsmatrizen für ein Rechtssystem. Sobald ein Linkssystem verwendet wird, ändern sich die Vorzeichen der Sinus- und Cosinustherme der Rotationsmatrizen des Rechtssystems. Bei den Konzepten von Euler, Kardan und Andoyer werden drei (bei Andoyer fünf) solcher Matrizen hintereinander "geschaltet". Dabei handelt es sich um Drehungen um mindestens zwei verschiedene Drehachsen. Durch das Kombinieren der verschiedenen Drehmatrizen mit verschiedenen Parametern ist es also möglich, beliebige Punkte eines Koordinatensystems in ein anderes zu transformieren. Es reichen aber nur Drehungen für die Transformation aus, solange die beiden Systeme den gleichen Ursprung und die gleiche Orientierung (Rechts- oder Linkssystem) haben. Ist der Urspung der beiden Systeme nicht identisch müssen noch Translationen eingeführt werden. Sobald man ein Rechtssystem in ein Linkssystem transformieren will, ist es notwendig, eine Spiegelung einzuführen.

Betrachtet man diese Gleichung für die Transformationen, zum Beispiel nach Euler,

so liest man diese von rechts nach links. Es wird also als erstes um die e3-Achse mit dem Winkel g1 gedreht. Anschließend wird die Drehung R1 um a durchgeführt. Die letzte Drehung ist die R3-Drehung um den Winkel g2.

Euler dreht um drei Basisrichtungen und vollführt drei elementare Drehungen. Dabei werden nur zwei elementare Rotationsmatrizen verwendet. Allgemein wird als erste und letzte Drehung die R3-Drehung benutzt. Nun bleiben nur noch R1 bzw. R2 als zweite Rotation übrig. Und so kann man von zwei Formen der Euler Drehung sprechen.
Euler I:

Euler II:


Dieses Konzept der Transformation wird vor allem in der Himmelsmechanik oder auch in der Satellitengeodäsie angewendet. Hier entspricht die Bahnebene gleich der Ebene, die durch X1 und X2 aufgespannt wird.

Bei diesem Konzept wird um drei Basisrichtungen mittels drei elementarer Drehungen gedreht. Auch hier kann es zwei Konzepte geben, welche sich allerdings nur dadurch unterscheiden, daß die Reihenfolge der Drehungen verändert wird.

Transformation nach Kardan 1,2,3:


Transformation nach Kardan 3,2,1:

Dieses Konzept sieht fünf elementare Drehungen vor, wobei nur zwei verschiedene Rotationen benutzt werden. Die beiden Rotationsmatrizen werden immer abwechselnd verwendet. Grund für die fünf elementaren Drehungen ist die Einbeziehung des Rotationsgeschwindigkeitsvektors in die Drehung. Grundsätzlich ist jede Kombination der Basisvektoren möglich. Angewendet wird das Konzept von Andoyer zum Beispiel bei der Präzessionsbeschreibung in der Himmelsmechanik.